Puzzle logici
Problemi a vincoli, ragionamento deduttivo e strategie risolutive spiegate passo dopo passo.
Nuova sezione
Matematica ricreativa
Uno spazio dedicato a logica, puzzle, curiosita numeriche e piccole sfide eleganti da esplorare con approccio creativo.
Paradossi e curiosita
Idee sorprendenti, geometria intuitiva e piccoli esperimenti mentali che stimolano la fantasia matematica.
Sfide numeriche
Sequenze, giochi combinatori e problemi classici riletti in chiave moderna e divulgativa.
In arrivo
La sezione è pronta per crescere con nuovi contenuti, esercizi interattivi e mini percorsi tematici.
Primo problema
Il problema delle tre età
Due matematici si incontrano dopo molti anni. Il primo dice al secondo: «Mi sono sposato e ho tre figli».
L’altro gli chiede: «Quanti anni hanno?»
Il primo risponde: «Il prodotto delle loro età è 36 e la somma delle loro età è uguale al numero civico della casa qui di fronte».
Il secondo guarda il numero civico, riflette un momento e poi dice: «Con questa informazione non posso ancora determinarne le età».
Allora il primo aggiunge: «Il più grande ha gli occhi azzurri».
A quel punto il secondo esclama: «Ora so quanti anni hanno i tuoi figli».
Domanda per il lettore: quanti anni hanno i tre figli?
Mostra la risposta
Cerchiamo tutte le terne di età intere positive il cui prodotto è 36:
1, 1, 36→ somma 381, 2, 18→ somma 211, 3, 12→ somma 161, 4, 9→ somma 141, 6, 6→ somma 132, 2, 9→ somma 132, 3, 6→ somma 113, 3, 4→ somma 10
Il secondo matematico guarda il numero civico e dice che non basta: quindi la somma
deve comparire almeno due volte. L’unica somma ripetuta è
13, ottenuta con 1, 6, 6 e 2, 2, 9.
Quando il primo aggiunge che il più grande ha gli occhi azzurri, capiamo che
il figlio maggiore è unico: non può essere 1, 6, 6 (due
figli maggiori di 6 anni).
Risposta finale: 2, 2 e 9 anni.
Secondo problema
Il bivio dei veritieri e dei bugiardi
Enunciato
Un esploratore approda su un’isola divisa in due villaggi.
Nel primo abitano i veritieri, che dicono sempre la verità; nel secondo i bugiardi, che mentono sempre.
I due gruppi parlano la stessa lingua, hanno lo stesso aspetto e non si distinguono in alcun modo esteriormente.
Giunto a un bivio, l’esploratore sa che una strada conduce al villaggio dei veritieri e l’altra a quello dei bugiardi. Incontra un abitante dell’isola, ma non sa a quale dei due villaggi appartenga.
Potendo rivolgergli una sola domanda, come può sapere con certezza quale strada conduce al villaggio dei veritieri?
Mostra soluzione, varianti e nota logica
Soluzione classica
La domanda più elegante è:
«Se ti chiedessi quale strada conduce al villaggio dei veritieri, quale mi indicheresti?»
L’esploratore dovrà poi seguire la strada indicata.
Perché funziona
Se l’interlocutore è un veritiero, risponde sinceramente e indica la strada giusta.
Se invece è un bugiardo, mente su ciò che direbbe e, proprio per questo, finisce ugualmente per indicare la strada corretta.
In entrambi i casi, dunque, la risposta coincide.
Variante equivalente
Un’altra domanda che funziona nello stesso modo è:
«Se chiedessi a un abitante del tuo villaggio quale strada conduce al villaggio dei veritieri, quale mi indicherebbe?»
Anche in questo caso, l’esploratore deve seguire la strada indicata.
Spiegazione
Se l’interlocutore è un veritiero, un abitante del suo stesso villaggio direbbe il vero, quindi indicherebbe la strada giusta.
Se l’interlocutore è un bugiardo, un abitante del suo stesso villaggio mentirebbe, quindi indicherebbe la strada sbagliata; ma il bugiardo, riferendo quella risposta, mente ancora e finisce per indicare la strada giusta.
Variante celebre da manuale
La formulazione più famosa è:
«Se chiedessi a un abitante dell’altro villaggio quale strada porta al villaggio dei veritieri, quale strada mi indicherebbe?»
In questo caso, però, la risposta ottenuta è la strada sbagliata. L’esploratore dovrà quindi prendere l’altra.
Perché
Se l’interlocutore è un veritiero, riferirà sinceramente la risposta che darebbe uno dell’altro villaggio, cioè un bugiardo, e quindi indicherà la strada sbagliata.
Se l’interlocutore è un bugiardo, mentirà sulla risposta che darebbe uno dell’altro villaggio, cioè un veritiero, e indicherà ancora la strada sbagliata.
Anche qui le due possibilità coincidono, ma producono l’indicazione opposta a quella corretta.
Variante in forma sì/no
L’esploratore può indicare una delle due strade, per esempio quella di sinistra, e chiedere:
«La strada di sinistra conduce al villaggio dei veritieri se e solo se tu sei un veritiero?»
- Se la risposta è sì, la strada di sinistra è quella giusta.
- Se la risposta è no, la strada corretta è quella di destra.
Questa variante è più raffinata, ma meno immediata.
Idea chiave
Il nucleo logico del problema consiste nel costruire una domanda capace di neutralizzare la menzogna.
Questo può avvenire in due modi:
- chiedendo all’interlocutore che cosa direbbe lui stesso o uno del suo stesso villaggio: in tal caso la risposta si può seguire;
- chiedendo che cosa direbbe uno dell’altro villaggio: in tal caso la risposta va invertita.
Errore tipico
L’errore più frequente consiste nel credere che tutte le formulazioni simili producano direttamente la strada corretta.
Non è così:
- domanda su se stesso → si segue la risposta;
- domanda su uno del proprio villaggio → si segue la risposta;
- domanda su uno dell’altro villaggio → si prende la strada opposta.
Formula conclusiva
Domanda consigliata
«Se ti chiedessi quale strada conduce al villaggio dei veritieri, quale mi indicheresti?»
Azione da compiere
Seguire la strada indicata.